设当x→0时，α与β都是无穷小，则α+β（）A．还是无穷小且至少与α及β之一同阶B．还是无穷小且可能比α及β阶数都高C．还是无穷小且可能比α及β阶数都低D．可能不是无穷小

Question

设当x→0时，α与β都是无穷小，则α+β（　　）

A．还是无穷小且至少与α及β之一同阶
B．还是无穷小且可能比α及β阶数都高
C．还是无穷小且可能比α及β阶数都低
D．可能不是无穷小

Answer 1

因为当x→0时，α与β都是无穷小，
故

lim

x→0

α(x)=

lim

x→0

β(x)=0．
从而，

lim

x→0

(α(x)+β(x))=

lim

x→0

α(x)+

lim

x→0

β(x)=0，
故当x→0时，α+β是无穷小量．
假设α与β的阶数分别为m、n，
则存在非零常数A、B，使得

lim

x→0

(α(x))/(xm)=A，

lim

x→0

(β(x))/(xn)=B．
如果m＜n，则

lim

x→0

(α(x)+β(x))/(xm)=

lim

x→0

(α(x))/(xm)+

lim

x→0

(β(x))/(xn)

lim

x→0

xn−m=A+B•0=A，
从而α+β的阶数为m，与α同阶．
同理可证，如果m＞n，则α+β的阶数为n，与β同阶．
如果m=n，则

lim

x→0

(α(x)+β(x))/(xm)=

lim

x→0

(α(x))/(xm)+

lim

x→0

(β(x))/(xn)=A+B，
如果A+B≠0，则α+β的阶数仍为m，与α、β同阶．
如果A+B=0，则α+β的阶数大于m．
例如x+x²与-x+x²均为1阶无穷小，但是（x+x²）+（-x+x²）=2x²为2阶无穷小．
综上，α+β仍为无穷小量，
当α、β的阶数不同时，α+β与α、β阶数中较小的一个量同阶；
当α、β的阶数相同时，如果A+B≠0，则α+β与α、β同阶，如果A+B=0，则α+β的阶数大于α、β．
故正确选项为：B，选项A、C、D错误．
故选：B．