设连续函数f（x）在无穷区间内单调有界,{xn}为数列,命题若{xn}收敛,则f（{xn})收敛是否正确.这事考研题我加了一个条件函数连续

Question

设连续函数f（x）在无穷区间内单调有界,{x n}为数列,命题若{x n}收敛,则f（{x n})收敛是否正确.
这事考研题我加了一个条件 函数连续

Answer 1

正确.证明如下：
Xn的极限设为a,那么只需证明对于任意b＞0,都存在正整数α,使得n＞α时,|f(Xn)-f(a)|＜b恒成立
而由函数连续可以知道存在β＞0,使得|Xn-a|＜β的时候,|f(Xn)-f(a)|＜b恒成立
因此存在N,对于任意的β,使得n＞N的时候,|Xn-a|＜β恒成立,进一步|f(Xn)-f(a)|＜b恒成立
所以数列收敛