已知A是m*n的实矩阵,证明r(ATA)=r(A)AT是矩阵A的转置

Question

已知A是m*n的实矩阵,证明r(ATA)=r(A) AT是矩阵A的转置

Answer 1

构造两个齐次线性方程组：
（1）Ax=0, (2)(AT A)x=0
如果这两个方程组同解,则两个方程组的系数矩阵有相同的秩,R(A)=R(AT A)=n-基础解系中向量个数.
这个很好理解对吧,《线性代数》的基本内容.
现在来证明它们同
首先,如果x1是（1）的解,那么它肯定也是（2）的解,因为将其代入（2）：
(AT A)x1=AT (Ax1)=AT *0=0
其次证明（2）的解也是（1）的
设x1是（2）的解,则AT A x1=0
进一步有：x1T AT A x1=0
即(Ax1)T (Ax1)=0
假设Ax1＝[a1,a2,...,an]T
则(Ax1)T(Ax1)=0就是a1^2+a2^2+...+an^2=0
那么只有a1=a2=...=an=0
也就是Ax1=0
至此说明了(2)的解也是(1)的解.
于是R(A)=R(AT A)