证明：r(AB)=r(B),则对任何可乘的矩阵M,有r(ABM)=r(BM)

Answer 1

证明:分两步
(1) ABX=0 与 BX=0 同解
显然,BX=0 的解都是 ABX=0 的解
所以BX=0的基础解系可由ABX=0的基础解系线性表示.
由已知 r(B)=r(AB)
所以两个基础解系所含向量个数相同
故两个基础解系等价
[若两个向量组的秩相同,且其中一个可由另一个线性表示,则两个向量组等价]
所以ABX=0的解也是BX=0的解
即有两个齐次线性方程组同解.
(2) ABMX=0 与 BMX=0 同解
显然有:BMX=0 的解都是 ABMX=0 的解
反之,设X1是ABMX=0的解
则 ABMX1=0.
即 AB(MX1)=0.MX1是ABX=0的解
由(1)知MX1也是BX=0的解
即有 BMX1=0
所以X1也是BMX=0的解
所以 (2)成立.
[同解方程组的系数矩阵的秩相同]
故 r(ABM)=r(BM).