辛矩阵的行列式为什么等于1一个2nX2n的矩阵M（通常布于实数或复数域上）和A，使之满足M‘AM=A,其中M'表M的转置矩阵,而A是一个固定的可逆斜对称矩阵即A=[0E;-E0].其中E是nXn阶单位方阵，求

Question

辛矩阵的行列式为什么等于1一个2nX2n的矩阵 M（通常布于实数或复数域上）和A，使之满足M‘AM=A,其中M'表 M的转置矩阵,而 A是一个固定的可逆斜对称矩阵即A=[0 E;-E 0].其中E是nXn阶单位方阵，求证M的行列式等于一。请问怎么证明？谢谢

Answer 1

一般来讲你的矩阵A记成J，这个记号比较常用 然后再定义一下辛共轭Z^J=-JZ'J，那么辛矩阵就是满足M^J=M^{-1}的矩阵 按分块形式写 E F G H 的辛共轭是 H' -F' -G' E' 接下来构造性地证明辛QR分解，即任何辛矩阵M都可以分解成M=QR，其中Q是辛酉矩阵，R是块上三角阵 R= U V 0 -U'^{-1} 且U是上三角阵 显然det(R)=1，只要把QR分解构造出来并说明det(Q)=1即可 对于 M= E F G H 1)利用n维Householder镜像变换X，可以把G的第一列变成ge_1的形式，即最多只有第1个分量非零 那么对M作用Q_1=diag[conj(X), X]就可以把M当中的G的第一列消成只有一个非零元，显然det(Q_1)=1，且Q_1是辛酉矩阵 2)再对M的第n和n+1行用Givens旋转Y=[c s; -conj(s) conj(c)]，可以把Q_1M的G位置的第一列完全消成零 取Q_2=diag[I_{n-1},Y,I_{n-1}]，显然det(Q_2)=1 3)进一步对Q_2Q_1M的左上角块进行镜像变换可以把E位置的第一列消成只剩一个非零元，同样取共轭后作用到底下的两块 这样3小步消去后整个矩阵的第一列只剩下1个非零元，注意整个消去过程中的酉变换都是辛酉变换，所以保持辛结构，重复这样的步骤就可以把前n列消成[U; 0]的形式，这和普通矩阵的Householder消去法原理一样，只是略微复杂一点。 最后利用一下辛矩阵的定义，块上三角的辛矩阵的对角块一定是按U和-U'^{-1}成对出现的，这就证明了辛QR分解，作为副产品也得到了det(M)=1。 当然，辛酉矩阵的行列式为1也可以单独证，因为辛酉矩阵只有两个自由块，验证起来很容易。