线性代数证明,设a1,a2……an是n个线性无关的向量,b=k1a1+k2a2+……+knan,其中,ki都不等于0,证明：a1,a2……an,b任意n个线性无关.

Question

线性代数证明,
设a1,a2……an是n个线性无关的向量,b=k1a1+k2a2+……+knan,其中,ki都不等于0,证明：a1,a2……an,b任意n个线性无关.

Answer 1

证明:只需证明 b,a2,...,an 线性无关,其他同理.
设 s1b+s2b2+...+snan = 0
则 s1k1a1+(s1k2+s2)a2+...+(a1kn+sn)an = 0.
由于 a1,a2,……,an 线性无关
所以 s1k1 = 0,s1ki+si = 0,i=2,3,...,n
又因为 k1≠0,所以 s1=0,si=0,i=2,3,...,n.
所以 b,a2,...,an 线性无关.