“位似变化”是一种重要的几何变化，可以将图形放大或缩小，且与原图形相似．你能用位似变化解决下列问题吗？如图Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=6，有矩形EFGH的一边EF在边AC上，点H在斜

Question

“位似变化”是一种重要的几何变化，可以将图形放大或缩小，且与原图形相似．你能用位似变化解决下列问题吗？
如图Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=6，有矩形EFGH的一边EF在边AC上，点H在斜边AC上，EF=2，HE=1．

（1）请你用圆规和无刻度直尺在Rt△ABC内作一个最大的矩形且与矩形EFGH位似．（不要求写作法，但必须保留作图痕迹）
（2）请证明你作图方法的正确性．
（3）求最大矩形与矩形EFGH的面积之比．

Answer 1

（1）①作AC的垂直平分线，TK，交AB于M，交AC于N，
②过点M作MD⊥BC垂足为D，
四边形MNCD就是所求．
（2）∵MN⊥AC，MD⊥BC，
∴∠C=∠MNC=∠CDM=90°，
∴四边形MNCD是矩形，
∵AN=NC，MN∥BC，
∴AM=MB，
∵MD∥AC，
∴CD=DB，
∴MD=(1)/(2)AC=6，MN=(1)/(2)BC=3，
∴MD：CD=2，EF：HE=2，
∴(EF)/(MD)=(HE)/(CD)，
∴矩形EFGH与矩形MNCD是位似图形．
（3）(S矩形MNCD)/(S矩形EFGH)=(3×6)/(1×2)=9．