一道定积分求sinx√（1+(cosx)^2)dx在0到π上的定积分~

Question

一道定积分
求sin x√（1+(cos x)^2)dx在0到π上的定积分~

Answer 1

∫sin x√（1+(cos x)^2)dx
=-∫√（1+(cos x)^2)dcosx
令t=cosx
原式=-∫√（1+t^2)dt 上限是-1,下限是1
再令t=tanu （正切）,则dt=（secu）^2 du
原式=-∫√（1+（tanu）^2)*（secu）^2 du 上限是-π/4,下限是π/4
=-∫（secu）^3 du
=-∫1/（cosu）^3 du
=-∫cosu/（cosu）^4 du
=-∫1/（1-(sinu)^2）^2 dsinu
再令sinu=y,上限是-√2/2,下限是√2/2
原式=-∫1/（1-y^2）^2 dy
=-1/4*∫[1/（1-y）^2+1/(1-y)+1/(1+y)+1/(1+y)^2] dy
=-1/4*[1/(1-y)-1/(1+y)+ln|(1-y)(1+y)|)]+C (C为常数)
=-1/4*[2y/(1-y^2)+ln|1-y^2|]+C
再把上限-√2/2,下限√2/2代进去
得到原定积分=-1/4*(-4√2)
=√2