对于n∈N*（n≥2），定义一个如下数阵：其中对任意的1≤i≤n，1≤j≤n，当i能整除j时，aij=1；当i不能整除j时，aij=0．（Ⅰ）当n=4时，试写出数阵A44；（Ⅱ）设．若[x]表示不超

Question

对于n∈N ^* （n≥2），定义一个如下数阵：
其中对任意的1≤i≤n，1≤j≤n，当i能整除j时，a _ij =1；当i不能整除j时，a _ij =0．
（Ⅰ）当n=4时，试写出数阵A ₄₄ ；
（Ⅱ）设 ．若[x]表示不超过x的最大整数，
求证： = ．

Answer 1

分析：
（Ⅰ）依题意对任意的1≤i≤n，1≤j≤n，当i能整除j时，aij=1；当i不能整除j时，aij=0可得数阵A44；（Ⅱ）t（j）是数阵Ann的第j列的和，则是数阵Ann所有数的和，按行相加，根据数阵Ann的第i行中有个1，其余是0，即第i行的和为，可证得结论．

（Ⅰ）依题意可得，…（4分）（Ⅱ）由题意可知，t（j）是数阵Ann的第j列的和，因此是数阵Ann所有数的和．而数阵Ann所有数的和也可以考虑按行相加．对任意的1≤i≤n，不超过n的倍数有1i，2i，…，．因此数阵Ann的第i行中有个1，其余是0，即第i行的和为．所以=．…（13分）
点评：
本题主要考查了数列的求和，以及新定义，解题的关键是弄清数阵Ann的第i行中有个1，其余是0，即第i行的和为，属于中档题．