有1991个9组成的多位数999……9/1991个9,它除以74所得的余数是多少?

Question

有1991个9组成的多位数999……9/1991个9,它除以74所得的余数是多少?

Answer 1

为了方便描述,记99……9（1991）的这个括号里面的1991表示1991个9.
74＝37×2,考虑到37|111
所以容易知道37|11……1（3k）,k∈N.(可以用数学归纳法证明.)
[补充:上面这句表明3的倍数个1,如111,111111,这些数字都是37的倍数]
所以99……9（1991）＝99……9（1989）×100＋99
99……9（1991）＝9×11……1（1989）×100＋99＝900×37K＋99＝450×74K+99＝450×74K＋74＋25
所以,99……9（1991）除以74的余数（这里是最小非负剩余）是25