《九章算术》中将底面的长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为蟞臑．在如图所示的阳马P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD=BC，则当

Question

《九章算术》中将底面的长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为蟞臑．在如图所示的阳马P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD=BC，则当点E在下列四个位置：PA中点、PB中点、PC中点、PD中点时分别形成的四面体E-BCD中，蟞臑有（　　）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

Answer 1

证明：（1）当点E在PC中点时：
因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，
因为ABCD为正方形，所以BC⊥CD，
因为PD∩CD=D，
所以BC⊥平面PCD，
因为DE⊂平面PCD，
所以BC⊥DE，
因为PD=CD，点E是PC的中点，
所以DE⊥PC，
因为PC∩BC=C，
所以DE⊥平面PBC，
由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，
即四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB；
（2）当点E在PA中点时：如图，以D为原点，分别以DA，DC，DP为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
设PD=DC=BC=1，则：C（0，1，0），B（1，1，0），D（0，0，0），E（(1)/(2)，0，(1)/(2)），
可求：BC=1，BE=(√(6))/(2)，EC=(√(6))/(2)，三边长不满足勾股定理，可得△EBC不是直角三角形，
故故四面体E-BCD不是蟞臑．

（3）如下图当点E在PB中点时：易证△BCE不是直角三角形（同上），故四面体E-BCD不是蟞臑．

（4）如下图当点E在PD中点时：

由BC⊥平面ECD，DE⊥平面DBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，
即四面体EBCD是一个鳖臑．
故选：B．