如图，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2，侧棱BB1与底面ABC所成角为π3，且侧面ABB1A1⊥底面ABC．（1）证明：点B1在平面ABC上的射影O为AB的中点；（2）求二面角C-AB1-B的正切值；（3）求点A1到

Question

如图，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长均为2，侧棱BB₁与底面ABC所成角为(π)/(3)，且侧面ABB₁A₁⊥底面ABC．
（1）证明：点B₁在平面ABC上的射影O为AB的中点；
（2）求二面角C-AB₁-B的正切值；
（3）求点A₁到平面CB₁A的距离．

Answer 1

证明：（1）过B₁点作B₁O⊥BA．
∵侧面ABB₁A⊥底面ABC，∴A₁O⊥面ABC
∴∠B₁BA是侧棱BB₁与底面ABC的夹角；
∴∠B₁BO=60°；在Rt△BOB₁中，BB₁=2，∴BO=(1)/(2)BB₁=1
又∵BB₁=AB，∴OB=(1)/(2)AB，∴O是AB的中点
即点B₁在平面ABC上的射影O为AB的中点；
（2）连接AB₁，过点O作OM⊥AB₁，连接CM，OC
∵OC⊥AB，平面ABC⊥面AA₁BB₁，
∴OM⊥AB₁
∴AB₁⊥CM，∴∠OMC是二面角C-AB₁-B的平面角；
在Rt△OCM中，OC=√(3)，OM=(√(3))/(2)，∴tan∠OMC=2
∴二面角C-AB₁-B的正切值为2；
（3）方法一：
过点O作ON⊥CM，∵AB₁⊥平面OCM，∴AB₁⊥ON；
∴ON⊥面ACB₁，∴ON的长度是O点到平面ACB₁DE距离；
在Rt△OMC中，OC=√(3)，OM=(√(3))/(2)，∴CM=(√(15))/(2)
∴ON=(OM•OC)/(CM)＝(√(15))/(5)
连接BA₁与B₁A交于H，则H是BA₁的中点；
∴B与A₁到平面ACB₁的距离相等；
又∵O是AB的中点，∴B到平面AB₁C的距离是O到平面AB₁C距离的2倍；
故A₁到平面AB₁C的距离为(2√(15))/(5)
方法二：（体积法）
VA1−ACB1＝VC−AB1A1⇒S△△ACB1•h＝S△AB1A1•OC
又在△ACB₁中，AC=AB₁=2，B₁C=√(6)⇒S△ACB1＝(1)/(2)√(6)•√(22−((√(6))/(2))2)＝(√(15))/(2)
∴(√(15))/(2)•h＝(√(3))/(4)×22×√(3)⇒h＝(2√(15))/(5)，
∴A₁到平面AB₁C的距离为(√(15))/(2)