证明以下两个不等式：(a^2+b^2)/2的平方根大于等于(a+b)/2.ab的平方根大于等于2/（1/a+1/b）.

Question

证明以下两个不等式：(a^2+b^2)/2的平方根大于等于(a+b)/2.ab的平方根大于等于2/（1/a+1/b）.

Answer 1

证明：
(1)
a²+b²>=2ab
2(a²+b²)>=a²+b²+2ab
(a²+b²)/2>=[(a+b)/2]²
所以：
√[(a²+b²)/2]>=(a+b)/2
（2）当a0,1/a+1/b2/(1/a+1/b)
当a>0,b>0时,√ab>0,ab>0,1/a+1/b>0
1/a+1/b>=2√(1/ab)=2/√ab>0
所以：√ab>=2/(1/a+1/b)
综上所述：√ab>=2/(1/a+1/b)