那道题的系数并没有错也…………就是这道题已知csc（x-β）=3sin（x+β)求1/2sin²2x+sin²β+cos四次方x的值

Question

那道题的系数并没有错也…………
就是 这道题已知csc（x-β）=3sin（x+β)求1/2sin²2x+sin²β+cos四次方x的值

Answer 1

∵csc（x-β）=1/sin(x-β)
而csc（x-β）=3sin（x+β)
∴3sin（x+β)sin(x-β)=1
引用和差化积公式 sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2
∴cos2β-cos2x=2/3
1/2sin²2x+sin²β+cos四次方x ①
sin²β=(1-cos2β)/2 ② （二倍角公式）
cos四次方x=(cos²x)²=[(1+cos2x)/2² =(cos²2x+2cos2x+1)/4 ③
②③代入①可得到
(cos²2x+2cos2x+1)/4+(1-cos2β)/2+1/2sin²2x 这个式子就是你要求得
然后把它展开结合.
=（1/4cos²2x/4+1/2sin²2x ）+(1/2cos2x-1/2cos2β)+1/4 ∵cos2β-cos2x=2/3
=(1/4+1/4sin²2x)-1/3+1/4
=1/4sin²2x-1/3
这个就是你原式最后的结果了,但是你只有
csc（x-β）=3sin（x+β)这一个条件,利用恒等变形得到的cos2β-cos2x=2/3
所以条件用的很彻底了,但是这个里面显然
cos2β和cos2x可以随便取值的,只要之差是2/3就可以了,cos2x可以取很多值,那sin²2x值也就不确定了,有无数个.1/4sin²2x-1/3这个的值就有无数个了,所以我才说这道题系数估计错了.如果把系数换成1/4,前面（1/4cos²2x/4+1/2sin²2x ）这一项才可以抵消,1/4sin²2x 这一项才会不存在,这样解出来才会是常数.