已知M（x，y）在双曲线方程组x=2secθy=tanθ上，求M到N（-3，0）的距离的最小值．

Question

已知M（x，y）在双曲线方程组

x=2secθ

y=tanθ

上，求M到N（-3，0）的距离的最小值．

Answer 1

∵M在双曲线

x=2secθ

y=tanθ

上，
∴M到N（-3，0）的距离为|MN|，
则|MN|²=（2secθ+3）²+tan²θ
=((2+3cosθ)2)/(cos2θ)+(sin2θ)/(cos2θ)
=(8cos2θ+12cosθ+5)/(cos2θ)
=8+(12)/(cosθ)+(5)/(cos2θ)；
设(1)/(cosθ)=t，则t≥1，或t≤-1；
∴f（t）=5t²+12t+8=5(t+(6)/(5))2+(4)/(5)，
且当t=-(6)/(5)时，f（t）取得最小值(4)/(5)；
∴|MN|的最小值为√((4)/(5))=(2√(5))/(5)．