已知a、b∈(0,2/π),且sin(a+2b)=7/5sina,问题是证明tan（a+b）=6tanb到这一步：sin（a+b)cosb=6sinbcos(a+b)接下来怎么证明a+b≠2/π+2kπ,也就是怎么证明cos（a+b)≠0

Question

已知a、b∈(0,2/π),且sin(a+2b)=7/5sina
,问题是证明tan（a+b）=6tanb
到这一步：sin（a+b)cosb=6sinbcos(a+b)
接下来怎么证明a+b≠2/π+2kπ,也就是怎么证明cos（a+b)≠0

Answer 1

裂项证明即可：
sin(A+2B) ＝ sin[(A+B)+B] ＝ sin(A+B)cosB + cos(A+B)sinB ①
sinA ＝ sin[(A+B)-B] ＝ sin(A+B)cosB - cos(A+B)sinB ②
代入已知条件中,得
5sin(A+B)cosB + 5cos(A+B)sinB ＝ 7sin(A+B)cosB - 7cos(A+B)sinB
即2sin(A+B)cosB ＝ 12cos(A+B)sinB
即tan(A+B) ＝ 12/2tanB ＝ 6tanB
如果cos(A+B)＝0,则(A+B)＝90° 即AB互余,此时sin(A+2B) ＝ cosB ≠7/5sinA