如图1，▱OABC的边OC在x轴的正半轴上，OC=5，反比例函数y=mx（x>0）的图象经过点A（1，4）．（1）求反比例函数的关系式和点B的坐标；（2）如图2，过BC的中点D作DP∥x轴交反比例函数图象于

Question

如图1，▱OABC的边OC在x轴的正半轴上，OC=5，反比例函数y=(m)/(x)（x>0）的图象经过点A（1，4）．
（1）求反比例函数的关系式和点B的坐标；
（2）如图2，过BC的中点D作DP∥x轴交反比例函数图象于点P，连接AP、OP．
①求△AOP的面积；
②在▱OABC的边上是否存在点M，使得△POM是以PO为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵反比例函数y=(m)/(x)（x>0）的图象经过点A（1，4），
∴m=1×4=4，
∴反比例函数的关系式为y=(4)/(x)（x>0）．
∵四边形OABC为平行四边形，且点O（0，0），OC=5，点A（1，4），
∴点C（5，0），点B（6，4）．
（2）①延长DP交OA于点E，如图3所示．
∵点D为线段BC的中点，点C（5，0）、B（6，4），
∴点D（(11)/(2)，2）．
令y=(4)/(x)中y=2，则x=2，
∴点P（2，2），
∴PD=(11)/(2)-2=(7)/(2)，EP=ED-PD=(3)/(2)，
∴S_△AOP=(1)/(2)EP•（y_A-y_O）=(1)/(2)×(3)/(2)×（4-0）=3．
②假设存在．以OP为直径作圆，交OC于点M₁，交OA于点M₂，连接PM₁、PM₂，如图4所示．
∵点P（2，2），O（0，0），
∴点M₁（2，0）；
∵点A（1，4），点O（0，0），
∴直线OA的关系式为y=4x．
设点M₂（n，4n），
OM₂=√(17)n，OP=2√(2)，PM₂=√(17n2-20n+8)，
∵∠OM₂P=90°，
∴OM22+PM22=OP²，即17n²+17n²-20n+8=8，
解得：n=(10)/(17)，或n=0（舍去），
∴点M₂（(10)/(17)，(40)/(17)）．
故在▱OABC的边上存在点M，使得△POM是以PO为斜边的直角三角形，点M的坐标为（2，0）或（(10)/(17)，(40)/(17)）．