已知：二次函数y=ax2-2x+c的图象与x于A、B，A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x=1，平移一个单位后经过坐标原点O（1）求这个二次函数的解析式；（2）直线y＝−13x+1交y轴于D点，E

Question

已知：二次函数y=ax²-2x+c的图象与x于A、B，A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x=1，平移一个单位后经过坐标原点O
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）直线y＝−(1)/(3)x+1交y轴于D点，E为抛物线顶点．若∠DBC=α，∠CBE=β，求α-β的值；
（3）在（2）问的前提下，P为抛物线对称轴上一点，且满足PA=PC，在y轴右侧的抛物线上是否存在点M，使得△BDM的面积等于PA²？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由题意，A（-1，0），
∵对称轴是直线x=1，
∴B（3，0）；（1分）
把A（-1，0），B（3，0）分别代入y=ax²-2x+c
得

0＝a+2+c

0＝9a−6+c

；（2分）
解得

a＝1

c＝−3

．
∴这个二次函数的解析式为y=x²-2x-3．（3分）

（2）∵直线y＝−(1)/(3)x+1与y轴交于D（0，1），
∴OD=1，
由y=x²-2x-3=（x-1）²-4得E（1，-4）；
连接CE，过E作EF⊥y轴于F（如图1），则EF=1，
∴OC=OB=3，CF=1=EF，
∴∠OBC=∠OCB=∠45°，
BC=√(OB2+OC2)=3√(2)，
CE＝√(CF2+FE2)＝√(2)；
∴∠BCE=90°=∠BOD，(OD)/(CE)＝(1)/(√(2))，
(OB)/(BC)＝(3)/(3√(2))＝(1)/(√(2))，
∴(OD)/(CE)＝(OB)/(BC)，
∴△BOD∽△BCE，（6分）
∴∠CBE=∠DBO，
∴α-β=∠DBC-∠CBE=∠DBC-∠DBO=∠OBC=45°．（7分）

（3）设P（1，n），
∵PA=PC，
∴PA²=PC²，即（1+1）²+（n-0）²=（1+0）²+（n+3）²
解得n=-1，
∴PA²=（1+1）²+（-1-0）²=5，
∴S_△EDW=PA²=5；（8分）
法一：设存在符合条件的点M（m，m²-2m-3），则m＞0，
①当M在直线BD上侧时，连接OM（如图1），
则S_△BDM=S_△OBM+S_△ODM-S_△BOD=5，
即(1)/(2)OB•|yM|+(1)/(2)OD|xM|−(1)/(2)OB•OD＝5，
(3)/(2)(m2−2m−3)+(1)/(2)m−(3)/(2)＝5，
整理，得3m²-5m-22=0，
解得m₁=-2（舍去），m2＝(11)/(3)，
把m＝(11)/(3)代入y=m²-2m-3得y＝(28)/(9)；
∴M((11)/(3)，(28)/(9))；（10分）
②当M在直线BD下侧时，不妨叫M₁，连接OM₁（如图1），
则S_△BDM1=S_△BOD+S_△BOM1-S_△DOM1=5，
即(1)/(2)OB•OD+(1)/(2)OB•|yM1|−(1)/(2)OD•|xM1|＝5，
(3)/(2)+(3)/(2)[−(m2−2m−3)]−(1)/(2)m＝5，
整理，得3m²-5m-2=0，
解得\\m1＝2，m2＝−(1)/(3)，（舍去）
把m=2代入y=m²-2m-3得y=-3，
∴M₁（2，-3）；
综上所述，存在符合条件的点M，其坐标为((11)/(3)，(28)/(9))或（2，-3）．（12分）
法二：设存在符合条件的点M（m，m²-2m-3），则m＞0，
①当M在直线BD上侧时，过M作MG∥y轴，
交DB于G；（如图2）
设D、B到MG距离分别为h₁，h₂，则
S_△BDM=S_△DMG-S_△BMG=5，
即(1)/(2)MGh1−(1)/(2)MGh2＝5，
(1)/(2)|yM−yG|•(h1−h2)＝5，
(1)/(2)[m2−2m−3−(−(1)/(3)m+1)]•3＝5，
整理，得3m²-5m-22=0；
解得m₁=-2（舍去），m2＝(11)/(3)；
把m＝(11)/(3)代入y=m²-2m-3
得y＝(28)/(9)；
∴M((11)/(3)，(28)/(9))．（10分）
②当M在直线BD下侧时，不妨叫M₁，过M₁作M₁G₁∥y轴，交DB于G₁（如图2）
设D、B到M₁G₁距离分别为h₁、h₂，则S_△BDM=S_△DM1G1+S_△BM1G1=5，
即(1)/(2)M1G1h1+(1)/(2)M1G1h2＝5，
(1)/(2)|yG1−yM1|•(h1+h2)＝5，
(1)/(2)[−(1)/(3)m+1−(m2−2m−3)]•3＝5，
整理，得3m²-5m-2=0，
解得m1＝2，m2＝−(1)/(3)，（舍去）
把m=2代入y=m²-2m-3得y=-3，
∴M₁（2，-3）；
综上所述，存在符合条件的点M，其坐标为((11)/(3)，(28)/(9))或（2，-3）．（12分）
法三：①当M在直线BD上侧时，过M作MH∥BD，交y轴于H，连接BH；（如图3）
则S_△DHB=S_△BDM=5，
即(1)/(2)DH•OB＝5，(1)/(2)DH•3＝5，
∴DH=(10)/(3)，
∴H(0，(13)/(3))；
∴直线MH解析式为y＝−(1)/(3)x+(13)/(3)；
联立

y＝−(1)/(3)x+(13)/(3)

y＝x2−2x−3

得

x＝−2

y＝5

或

x＝(11)/(3)

y＝(28)/(9)

；
∵M在y轴右侧，
∴M坐标为((11)/(3)，(28)/(9))．（10分）
②当M在直线BD下侧时，不妨叫M₁，过M₁作M₁H₁∥BD，交y轴于H₁，
连接BH₁（如图3），同理可得DH1＝(10)/(3)，
∴H1(0，−(7)/(3))，
∴直线M₁H₁解析式为y＝−(1)/(3)x−(7)/(3)，
联立

y＝−(1)/(3)−(7)/(3)

y＝x2−2x−3

得

x＝2

y＝−3

或

x＝−(1)/(3)

y＝−(20)/(9)

；
∵M₁在y轴右侧，
∴M₁坐标为（2，-3）
综上所述，存在符合条件的点M，其坐标为((11)/(3)，(28)/(9))或（2，-3）．（12分）