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如图1,在正方形ABCD中,点O是其几何中心(正方形的两条对角线的交点),∠MON=45°.(1)如图1,当点M在BC边上,ON与DC的延长线交于N点,写出BM,MN,CN之间的数量关系并证明你的结论;(2
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如图1,在正方形ABCD中,点O是其几何中心(正方形的两条对角线的交点),∠MON=45°.
(1)如图1,当点M在BC边上,ON与DC的延长线交于N点,写出BM,MN,CN之间的数量关系并证明你的结论;
(2)如图2,当点M在BC边上,ON与CD交于N点,写出BM,MN,CN之间的数量关系并证明你的结论;
(3)在(2)中,若正方形ABCD的边长为4,MC=1,求CN的长.
(1)如图1,当点M在BC边上,ON与DC的延长线交于N点,写出BM,MN,CN之间的数量关系并证明你的结论;
(2)如图2,当点M在BC边上,ON与CD交于N点,写出BM,MN,CN之间的数量关系并证明你的结论;
(3)在(2)中,若正方形ABCD的边长为4,MC=1,求CN的长.
▼优质解答
答案和解析
(1)结论:MN=BM+CN.
理由:在CD上取一点G,使得CG=BM.
在△OBM和△OCG中,
,
∴△OBM≌△OCG,
∴OM=OG,∠BOM=∠COG,
∵∠MON=45°,∠BOC=90°,
∴∠BOM+∠CON=∠CON+∠COG=45°,
∴∠NOM=∠NOG=45°,∵ON=ON,
∴△ONM≌△ONG,
∴NM=GN,
∵NG=CN+CG=CN+BM,
∴MN=BM+CN.
(2)结论:MN=BM-CN.
理由:在CD上取一点G,使得CG=BM.
在△OBM和△OCG中,
,
∴△OBM≌△OCG,
∴OM=OG,∠BOM=∠COG,
∴∠BOC=∠MOG=90°
∴∠NOM=45°,
∴∠NOG=45°
∴∠NOM=∠NOG,∵ON=ON,
∴△ONM≌△ONG,
∴NM=GN,
∵NG=CG-CN=BM-CN,
∴MN=BM-CN.
(3)设CN=x,
∵CM=1,BC=4,
∴BM=3.
∵BM=CN+MN,
∴MN=3-x,
在Rt△MNC中,∵MN2=CN2+CM2,
∴(3-x)2=x2+12,
∴x=
,
∴CN=
理由:在CD上取一点G,使得CG=BM.
在△OBM和△OCG中,
|
∴△OBM≌△OCG,
∴OM=OG,∠BOM=∠COG,
∵∠MON=45°,∠BOC=90°,
∴∠BOM+∠CON=∠CON+∠COG=45°,
∴∠NOM=∠NOG=45°,∵ON=ON,
∴△ONM≌△ONG,
∴NM=GN,
∵NG=CN+CG=CN+BM,
∴MN=BM+CN.
(2)结论:MN=BM-CN.
理由:在CD上取一点G,使得CG=BM.
在△OBM和△OCG中,
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∴△OBM≌△OCG,
∴OM=OG,∠BOM=∠COG,
∴∠BOC=∠MOG=90°
∴∠NOM=45°,
∴∠NOG=45°
∴∠NOM=∠NOG,∵ON=ON,
∴△ONM≌△ONG,
∴NM=GN,
∵NG=CG-CN=BM-CN,
∴MN=BM-CN.
(3)设CN=x,
∵CM=1,BC=4,
∴BM=3.
∵BM=CN+MN,
∴MN=3-x,
在Rt△MNC中,∵MN2=CN2+CM2,
∴(3-x)2=x2+12,
∴x=
4 |
3 |
∴CN=
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