如图，已知直线y=12x与双曲线y＝kx(k＞0)交于A，B两点，且点A的横坐标为4．（1）求k的值；（2）若双曲线y＝kx(k＞0)上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；（3）过原点O的另一条直线l交双曲线y

Question

如图，已知直线y=(1)/(2)x与双曲线y＝(k)/(x)(k＞0)交于A，B两点，且点A的横坐标为4．

（1）求k的值；
（2）若双曲线y＝(k)/(x)(k＞0)上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；
（3）过原点O的另一条直线l交双曲线y＝(k)/(x)(k＞0)于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．

Answer 1

（1）∵点A横坐标为4，
把x=4代入y=(1)/(2)x中
得y=2，
∴A（4，2），
∵点A是直线y=(1)/(2)x与双曲线y=(k)/(x)（k＞0）的交点，
∴k=4×2=8；
（2）解法一：如图，
∵点C在双曲线上，
当y=8时，x=1，
∴点C的坐标为（1，8）．
过点A、C分别做x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，得矩形DMON．
∵S_矩形ONDM=32，S_△ONC=4，S_△CDA=9，S_△OAM=4．
∴S_△AOC=S_矩形ONDM-S_△ONC-S_△CDA-S_△OAM=32-4-9-4=15；
解法二：如图，
过点C、A分别做x轴的垂线，垂足为E、F，
∵点C在双曲线y＝(8)/(x)上，
当y=8时，x=1，
∴点C的坐标为（1，8）．
∵点C、A都在双曲线y＝(8)/(x)上，
∴S_△COE=S_△AOF=4，
∴S_△COE+S_梯形CEFA=S_△COA+S_△AOF．
∴S_△COA=S_梯形CEFA．
∵S_梯形CEFA=(1)/(2)×（2+8）×3=15，
∴S_△COA=15；
（3）∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形，
∴OP=OQ，OA=OB，
∴四边形APBQ是平行四边形，
∴S_△POA=S_{平行四边形APBQ×}(1)/(4)=(1)/(4)×24=6，
设点P的横坐标为m（m＞0且m≠4），
得P（m，(8)/(m)），
过点P、A分别做x轴的垂线，垂足为E、F，
∵点P、A在双曲线上，
∴S_△POE=S_△AOF=4，
若0＜m＜4，如图，
∵S_△POE+S_梯形PEFA=S_△POA+S_△AOF，
∴S_梯形PEFA=S_△POA=6．
∴(1)/(2)（2+(8)/(m)）•（4-m）=6．
∴m₁=2，m₂=-8（舍去），
∴P（2，4）；
若m＞4，如图，
∵S_△AOF+S_梯形AFEP=S_△AOP+S_△POE，
∴S_梯形PEFA=S_△POA=6．
∴(1)/(2)（2+(8)/(m)）•（m-4）=6，
解得m₁=8，m₂=-2（舍去），
∴P（8，1）．
∴点P的坐标是P（2，4）或P（8，1）．