点A(X1,Y1),B(X2,Y2)是抛物线C:X^2=2Y上的不同两点,过A,B分别作抛物线C的切线,两条切线交于点P(X0,Y0).1.证X0是X1与X2的等差中项（已会）2.若直线AB过定点M（0,1）,求证：O是三角形PAB的垂心3.在2的条件

Question

点A(X1,Y1),B(X2,Y2)是抛物线C:X^2=2Y上的不同两点,过A,B分别作抛物线C的切线,两条切线交于点P(X0,Y0).
1.证X0是X1与X2的等差中项（已会）
2.若直线AB过定点M（0,1）,求证：O是三角形PAB的垂心
3.在2的条件下,求三角形PAB的重心G的轨迹方程

Answer 1

我应该是做出来了.
第一问不用我证了
从第二问开始
设A坐标（x1,0.5x1方）B（x2,0.5x2方)
写出两条切线的方程求交点,P的坐标（x1+x2/2,0.5x1x2)
联立直线和抛物线方程用韦达定理求出x1x2=-2
用向量表示出OA和PB,作出向量内积,将x1x2=-2代入得内积为0所以OA垂直于PB.同理OB垂直于AP,两条垂直就能确定垂心,所以O是PAB的垂心,第二问证毕
第三问
设过AB直线的斜率为k,重心坐标重心公式得为(x1+x2/2,0.5x1方+0.5x2方-1/3）因为x1+x2=2k,x1x2=-2,代入得重心坐标为(k,(2k方+1)/3)
所以重心轨迹方程为y=(2x方+1)/3
这里很多东西没法写所以步骤比较简略,另外不知道你是高几,在高三这道题真不能算难题,还有我做题马虎,不一定能做对--__--!