如图，经过点A（0，-6）的抛物线y=12x2+bx+c与x轴相交于B（-2，0），C两点．（1）求此抛物线的函数关系式和顶点D的坐标；（2）将（1）中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m（m&g

Question

如图，经过点A（0，-6）的抛物线y=(1)/(2)x²+bx+c与x轴相交于B（-2，0），C两点．

（1）求此抛物线的函数关系式和顶点D的坐标；
（2）将（1）中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m（m>0）个单位长度得到新抛物线y₁，若新抛物线y₁的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；
（3）在（2）的结论下，新抛物线y₁上是否存在点Q，使得△QAB是以AB为底边的等腰三角形？请分析所有可能出现的情况，并直接写出相对应的m的取值范围．

Answer 1

（1）将A（0，-6），B（-2，0）代入y=(1)/(2)x²+bx+c，
得：

-6=c

0=2-2b+c

，
解得：

b=-2

c=-6

，
∴y=(1)/(2)x²-2x-6，
∴顶点坐标为（2，-8）；
（2）将（1）中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m（m>0）个单位长度得到新抛物线y₁=(1)/(2)（x-2+1）²-8+m，
∴P（1，-8+m），
在抛物线y=(1)/(2)x²-2x-6中易得C（6，0），
∴直线AC为y₂=x-6，
当x=1时，y₂=-5，
∴-5<-8+m<0，
解得：3<m<8；
（3）∵A（0，-6），B（-2，0），
∴线段AB的中点坐标为（-1，-3），直线AB的解析式为y=-3x-6，
∴过AB的中点且与AB垂直的直线的解析式为：y=(1)/(3)x-(8)/(3)，
∴直线y=(1)/(3)x-(8)/(3)与y=(1)/(2)（x-1）²-8+m有交点，
联立方程，求的判别式为：
△=64-12（6m-29）≥0
解得：m≤(103)/(18)
∴①当3<m<(103)/(18)时，存在两个Q点，可作出两个等腰三角形；      
②当m=(103)/(18)时，存在一个点Q，可作出一个等腰三角形；
③当(103)/(18)<m<8时，Q点不存在，不能作出等腰三角形．