如图,在中,是边上的一点,是的中点,过点作的平行线交的延长线于点,且,连接.(1)求证:是的中点；(2)若,试判断四边形的形状,并证明你的结论.

Question

如图, 在 中, 是 边上的一点, 是 的中点, 过 点作 的平行线交 的延长线于点 , 且 , 连接 .

(1) 求证: 是 的中点；
(2) 若 , 试判断四边形 的形状, 并证明你的结论.

Answer 1

如图, 在 中, 是 边上的一点, 是 的中点, 过 点作 的平行线交 的延长线于点 , 且 , 连接 .

(1) 求证: 是 的中点；
(2) 若 , 试判断四边形 的形状, 并证明你的结论.

（1）通过证明BD=CD，得 是 的中点 （2）AFBD是矩形

试题分析：（1）在 中, 是 边上的一点, 是 的中点，则AE=DE；过 点作 的平行线交 的延长线于点 , 即AF//CD，得 ；又因为 （对顶角相等），所以 ，所以AF=CD； ，所以BD=CD，所以D是BC的中点
（2）过 点作 的平行线交 的延长线于点 , 且 , 连接 .
∵AF//BD，AF=BD
∴四边形AFBD是平行四边形，AD=BF，
在 中由（1）的证明知 是 的中点，AF=CD
∵ ，
∴
∴
所以AB=AC；D是BC的中点
所以AD⊥BC，
∴平行四边形AFBD是矩形
点评：本题考查三角形全等和矩形，解本题的关键是掌握判定三角形全等的方法，会判定一个四边形是否是矩形