x+y+z=1,x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx的最小值

Question

x+y+z=1,x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx的最小值

Answer 1

若增加条件：x、y、z都是正数,则问题可解.方法如下：
∵x＋y＋z＝1,∴（x＋y＋z）^2＝1,∴x^2＋y^2＋z^2＋2xy＋2yz＋2xz＝1,
令x^2＋y^2＋z^2＋xy＋yz＋xz＝k,得：xy＋yz＋xz＝1－k.
考虑到：2k＝（x^2＋y^2）＋（y^2＋z^2）＋（x^2＋z^2）＋2（xy＋yz＋xz）.
当x、y、z都是正数时,有：x^2＋y^2≧2xy,　y^2＋z^2≧2yz,　x^2＋z^2≧2xz.
∴2k≧2xy＋2yz＋2xz＋2（xy＋yz＋xz）＝4（xy＋yz＋xz）＝4（1－k）,
∴6k≧4,∴k≧2/3.即：x^2＋y^2＋z^2＋xy＋yz＋xz≧2/3.
∴当x、y、z都是正数,且x＋y＋z＝1时,x^2＋y^2＋z^2＋xy＋yz＋xz的最小值是2/3.
注：当x、y、z不限于只取正数时,本人还没有想出方法.