已知点P（2，2），圆C：x2+y2-8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A、B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（Ⅰ）求M的轨迹方程；（Ⅱ）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．

题目详情

已知点P（2，2），圆C：x²+y²-8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A、B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
（Ⅰ）求M的轨迹方程；
（Ⅱ）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．

▼优质解答

答案和解析

（I）圆C的方程可化为x²+（y-4）²=16，
所以圆心为C（0，4），半径为4，
设M（x，y），则

＝(x，y−4)，

＝(2−x，2−y)，
由题设知

•

＝0，
故x（2-x）+（y-4）（2-y）=0，
即（x-1）²+（y-3）²=2．
由于点P在圆C的内部，
所以M的轨迹方程是（x-1）²+（y-3）²=2．…（6分）
（II）由（1）可知M的轨迹是以点N（1，3）为圆心，

为半径的圆．
由于|OP|=|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，
又P在圆N上，从而ON⊥PM．
因为ON的斜率为3，
所以l的斜率为−

，
故l的方程为y＝−

．
又|OP|＝|OM|＝2

，O到l的距离为

，|PM|＝

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