设R+表示正实数集,求函数f:R+----->R+,是的对所有x,y属于R+,有f(xf(y))=f(xy)+x.哪位大虾帮帮忙+号在R的右下角

Question

设R+表示正实数集,求函数f:R+----->R+,是的对所有x,y属于R+,有f(xf(y))=f(xy)+x.哪位大虾帮帮忙
+号在R的右下角

Answer 1

取x=1,得到f(f(y))=f(y)+1,对任意y>=0成立.
取y=0,得到f(xf(0))=f(0)+x,对任意x>=0成立.记a=f(0),那就有f(ax)=a+x.
如果a=0的话,我们有f(0)=x对任意x>=0成立,这是不可能的.所以a>0.
令z=ax,代入f(ax)=a+x,得到f(z)=a+z/a,对于任意z>=0.
代入f(xf(y))=f(xy)+x,得到a+xf(y)/a=a+xy/a+x,化简得xf(y)=xy+ax.再代入,得x(a+y/a)=xy+ax,化简得xy/a=xy,对任意x>=0和y>=0成立.于是a=1.
所以唯一符合的函数就是f(x)=x+1.
那种所谓“更简单”的做法是不对的,因为我们预先并不知道f的值域是否覆盖了整个R+