如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，动点P从点D出发沿DA向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动．过点P作PE∥DC，交AC于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为x

Question

如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，动点P从点D出发沿DA向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动．过点P作PE∥DC，交AC于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为x秒，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．
（1）求PE、AE的长（用x的代数式表示）
（2）当△PAQ∽△BCE时，求x的值；
（3）是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，AD=BC=8，AB=DC=6，
∴AC=√(AD2+CD2)=10．
∵PE∥DC，
∴△APE∽△ADC，
∴(AP)/(AD)=(PE)/(CD)，即(8−x)/(8)=(PE)/(6)，
∴PE=6-(3)/(4)x；
同理(AE)/(AC)=(AP)/(AD)，即(AE)/(10)=(8−x)/(8)，
∴AE=10-(5)/(4)x；

（2）当△PAQ∽△BCE时，(PA)/(BC)=(AQ)/(CE)，
即(8−x)/(8)=(x)/(10−(10−(5)/(4)x))，
解得x=(8)/(5)．
经检验，x=(8)/(5)符合题意，
故x=(8)/(5)；

（3）存在．分两种情况：
如图1，当Q在线段AE上时：QE=AE-AQ=10-(5)/(4)x-x=10-(9)/(4)x；
（i）当QE=PE时，10-(9)/(4)x=6-(3)/(4)x，
解得x=(8)/(3)；
（ii）当QP=QE时，∠QPE=∠QEP，
∵∠APQ+∠QPE=90°，∠PAQ+∠QEP=90°，
∴∠APQ=∠PAQ，
∴AQ=QP=QE，
∴x=10-

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