已知：矩形ABCD中，AB=10，AD=8，点E是BC边上一个动点，将△ABE沿AE折叠得到△AB′E．（1）如图1，点G和点H分别是AD和AB′的中点，若点B′在边DC上．①求GH的长；②求证：△AGH≌△B′CE；（2）

Question

已知：矩形ABCD中，AB=10，AD=8，点E是BC边上一个动点，将△ABE沿AE折叠得到△AB′E．
（1）如图1，点G和点H分别是AD和AB′的中点，若点B′在边DC上．
①求GH的长；
②求证：△AGH≌△B′CE；
（2）如图2，若点F是AE的中点，连接B′F，B′F∥AD，交DC于I．
①求证：四边形BEB′F是菱形；
②求B′F的长．

Answer 1

（1）①∵将△ABE沿AE折叠得到△AB′E，
∴AB=AB′．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADB′=90°，
在Rt△ADB′中，AD=8，AB′=10，
∴B′D=√(AB′2-AD2)=6．
∵点G和点H分别是AD和AB′的中点，
∴GH为△ADB′的中位线，
∴GH=(1)/(2)DB′=3．
②证明：∵GH为△ADB′的中位线，
∵GH∥DC，AG=(1)/(2)AD=4，
∴∠AHG=∠AB′D．
∵∠AB′E=∠ABE=90°，
∴∠AB′D+∠CB′E=90°，
又∵∠CB′E+∠B′EC=90°，
∴∠AHG=B′EC，
∵CD=AB=10，DB′=6，
∴B′C=4=AG．
在△AGH和△B′CE中，有

∠AHG=∠B′EC

∠AGH=∠B′CE=90°

B′C=AG

，
∴△AGH≌△B′CE（AAS）．
（2）①证明：连接BF，如图所示．
∵将△ABE沿AE折叠得到△AB′E，
∴BF=B′F，∠B′EF=∠BEF，BE=B′E，
∵B′F∥AD，AD∥BC，
∴B′F∥BC，
∴∠B′FE=∠BEF=∠B′EF．
∵∠AB′E=∠ABE=90°，点F为线段AE的中点，
∴B′F=(1)/(2)AE=FE，
∴△B′EF为等边三角形，
∴B′F=B′E．
∵BF=B′F，BE=B′E，
∴B′F=BF=BE=B′E，
∴四边形BEB′F是菱形．
②∵△B′EF为等边三角形，
∴∠BEF=∠B′EF=60°，
∴BE=AB•cot∠BEF=10×(√(3))/(3)=(10√(3))/(3)，
∵四边形BEB′F是菱形，
∴B′F=BE=(10√(3))/(3)．