圆C:x2+y2+4ax+4a2-4=0和圆C:x2+y2-2by+b2-1=0只有一条公切线,若a∈R,b∈R,且ab≠0,则1/a2+1/b2的最小值为A.2B.4C.8D.9

Question

圆C:x2+y2+4ax+4a2-4=0和圆C:x2+y2-2by+b2-1=0只有一条公切线,若a∈R,b∈R,且ab≠0,则1/a2+1/b2的最小值为
A.2
B.4
C.8
D.9

Answer 1

答案：最小值9,选D
先对两圆方程式配方
x²+y²-4by-1+4b²=0
x²+(y²-4by+4b²)=1
x²+(y-2b)²=1²
所以此圆是以（0,2b）为圆心,1为半径的圆
x²+y²+2ax+a²-4=0
(x²+2ax+a²)+y²=4
(x+a)²+y²=2²
所以此圆是以（-a,0）为圆心,2为半径的圆
因为两圆恰有一条公切线,
所以易知两圆内切
所以 两圆圆心距=两圆半径之差的绝对值
即√【[0-(-a)]²+(2b-0)²】=|2-1|
√(a²+4b²)=1
a²+4b²=1
于是题目变成了我们熟悉的“已知a²+4b²=1,求1/a²+1/b²的最小值”
把a²+4b²=1代入1/a²+1/b²得
1/a²+1/b²
=(a²+4b²)/a²+(a²+4b²)/b²
=5+(b²/a²)+(4a²/b²)
≥5+2√【(b²/a²)•(4a²/b²)】
=9
所以最小值为9,选D
【备注：1）均值不等式a+b≥2√ab,仅当a=b时取最小值
2）两圆外离,有4条公切线（2条外公切线,2条内公切线）
两圆外切,有3条公切线（2条外公切线,1条内公切线）
两圆相交,有2条公切线（2条外公切线）
两圆内切,有1条公切线（1条外公切线）
两圆内含,有0条公切线】