如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2，AB=AC=1，∠BAC=90°，点M是BC的中点，点N在侧棱CC1上．（1）当线段CN的长度为多少时，NM⊥AB1；（2）若MN⊥AB1，求异面直线B1N与AB所成的角的正切值；（3）若M

Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=2，AB=AC=1，∠BAC=90°，点M是BC的中点，点N在侧棱CC₁上．
（1）当线段CN的长度为多少时，NM⊥AB₁；
（2）若MN⊥AB₁，求异面直线B₁N与AB所成的角的正切值；
（3）若MN⊥AB₁，求二面角A-B₁N-M的大小
（4）若MN⊥AB₁，求点M到平面AB₁N的距离．

Answer 1

（1）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=2，AB=AC=1，∠BAC=90°，点M为BC中点，
∴AM⊥BC，AM⊥面BCC₁B₁
∴AM⊥MN，NM⊥AB₁；AM∩AB₁=A
所以MN⊥AB₁M
BC=B₁C₁=√(2)，
设CN=x，则NC₁=2-x
B₁C₁²+NC₁²=B₁M²+NM²
2+（2-x）²=2²+((1)/(2))2+((1)/(2))2+x²，
解得x=(1)/(4)．
（2）∵AB∥A₁B₁
∴异面直线B₁N与AB所成的角为∠A₁BN
∵面ABB₁A₁⊥面ACC₁A₁，
∴B₁A₁⊥面ACC₁A₁，B₁A₁⊥A₁N
A₁N=√(A1C12+C1N2)=√(1+((7)/(4))2)=(√(65))/(4)．
∴tan∠A₁BN=(A1N)/(A1B1)=

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