已知曲线C：y=x3-2x+3（Ⅰ）求曲线C在x=-1处的切线方程；（Ⅱ）点P在曲线C上运动，曲线C在点P处的切线的倾斜角的范围是[0，π4]，求点P的横坐标的范围．

Question

已知曲线C：y=x³-2x+3
（Ⅰ）求曲线C在x=-1处的切线方程；
（Ⅱ）点P在曲线C上运动，曲线C在点P处的切线的倾斜角的范围是[0，(π)/(4)]，求点P的横坐标的范围．³

[0，(π)/(4)]，求点P的横坐标的范围．(π)/(4)ππ44

Answer 1

（Ⅰ）令y=f（x）=x³3-2x+3，
∴f（-1）=4，f′（x）=3x²2-2，则f'（-1）=1，
∴切点为（-1，4），斜率为1，即切线方程为y-4=k（x+1）即x-y+5=0，
∴曲线C在x=-1处的切线方程为x-y+5=0；
（Ⅱ）∵倾斜角α∈[0 ， (π)/(4)]
∴tanα∈[0，1]，
设点P的坐标为（x₀，y₀），
∵tanα=f'（x₀）=3x₀²-2，
∴3x₀²-2≥0且3x₀²-2≤1，
解得x0∈[−1 ， −(√(6))/(3)]∪[(√(6))/(3) ， 1]，
∴点P的横坐标的范围为[−1 ， −(√(6))/(3)]∪[(√(6))/(3) ， 1]． α∈[0 ， (π)/(4)πππ444]
∴tanα∈[0，1]，
设点P的坐标为（x₀0，y₀0），
∵tanα=f'（x₀0）=3x₀0²2-2，
∴3x₀0²2-2≥0且3x₀0²2-2≤1，
解得x0∈[−1 ， −(√(6))/(3)]∪[(√(6))/(3) ， 1]，
∴点P的横坐标的范围为[−1 ， −(√(6))/(3)]∪[(√(6))/(3) ， 1]． x0∈[−1 ， −(√(6))/(3)]∪[(√(6))/(3) ， 1]，
∴点P的横坐标的范围为[−1 ， −(√(6))/(3)]∪[(√(6))/(3) ， 1]． 0∈[−1 ， −(√(6))/(3)√(6)√(6)√(6)

6

66333]∪[(√(6))/(3)√(6)√(6)√(6)

6

66333 ， 1]，
∴点P的横坐标的范围为[−1 ， −(√(6))/(3)]∪[(√(6))/(3) ， 1]． [−1 ， −(√(6))/(3)√(6)√(6)√(6)

6

66333]∪[(√(6))/(3)√(6)√(6)√(6)

6

66333 ， 1]．