已知abcd适合a+b=c+d,a^3+b^3=c^3+d^3,求证a^2005+b^2005=c^2005+d^2005

Question

已知a b c d 适合a+b=c+d,a^3+b^3=c^3+d^3,求证a^2005+b^2005=c^2005+d^2005

Answer 1

a^3+b^3=c^3+d^3
即(a+b)(a^2-ab+b^2)=(c+d)(c^2-cd+d^2)
又a+b=c+d
所以a^2-ab+b^2=c^2-cd+d^2
(a+b)^2-3ab=(c+d)^2-3cd
-3ab=-3cd
所以ab=cd
又 a+b=c+d
b=c+d-a,代入ab=cd
a(c+d-a)=cd
a^2-(c+d)a+cd=0
(a-c)(a-d)=0
所以a=c或a=d；相应的b=d或b=c
所以a^n+b^n=c^n+d^n
所以a^2005+b^2005=c^2005+d^2005