初学行列式,请帮我证明两道题,|ax+byay+bzza+bx||xyz|1、证明：|ay+bzaz+bxax+by|=(a^3+b^3)|yzx||az+bxax+byay+bz||zxy|2、证明：|a^2(a+1)^2(a+2)^2(a+3)^2||b^2(b+1)^2(b+2)^2(b+3)^2||c^2(c+1)^2(c+2)^2(c+3)^2||d^2

Question

初学行列式,请帮我证明两道题,
|ax+by ay+bz za+bx| |x y z|
1、证明：|ay+bz az+bx ax+by| = (a^3+b^3)|y z x|
|az+bx ax+by ay+bz| |z x y|
2、证明：|a^2 (a+1)^2 (a+2)^2 (a+3)^2|
|b^2 (b+1)^2 (b+2)^2 (b+3)^2|
|c^2 (c+1)^2 (c+2)^2 (c+3)^2|
|d^2 (d+1)^2 (d+2)^2 (d+3)^2| = 0
注：n^i 代表n的i次方
初学线性代数,不太懂,请网友帮忙,

Answer 1

1
很难写 不知我说方法你懂不 拆第一列
|ax+by ay+bz za+bx|
|ay+bz az+bx ax+by|=
|az+bx ax+by ay+bz|
|ax ay+bz za+bx| |by ay+bz za+bx|
|ay az+bx ax+by|+ |bz az+bx ax+by|
|az ax+by ay+bz| |bx ax+by ay+bz|
然后再拆第二列 第三列
最后得8项
提出a,b 前面系数是a^2b,ab^2可以消掉 （由于交换两列差一个符号）
剩下
|x y z|
|y z x| (a^3+b^3)
|z x y|
2
k4-k3,k3-k2,k2-k1 得
|a^2 2a+1 2a+3 2a+5|
|b^2 2b+1 2b+2 2b+5|
|c^2 2c+1 2c+3 2c+5|
|d^2 2d+1 2d+3 2d+5|
k4-k3,k3-k2
就有两列常数了 等于0
打行列式不容易.