在△ABC中，∠A、B、C所对的边分别是a、b、c，且满足a2-2bccosA=（b+c）2（1）求∠A的大小；（2）若a=3，求△ABC周长的取值范围．

Question

在△ABC中，∠A、B、C所对的边分别是a、b、c，且满足a²-2bccosA=（b+c）²
（1）求∠A的大小；
（2）若a=3，求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

（1）由余弦定理得：cosA=(b2+c2−a2)/(2bc)，即b²+c²-a²=2bccosA，
代入已知等式得：a²-b²-c²+a²=b²+2bc+c²，即b²+c²-a²=-bc，
∴cosA=(b2+c2−a2)/(2bc)=-(1)/(2)，
则∠A=120°；
（2）∵a=3，cosA=-(1)/(2)，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，即9=b²+c²+bc=（b+c）²-bc≥（b+c）²-((b+c)2)/(4)=(3(b+c)2)/(4)，
再由b+c＞a=3得到：3＜b+c≤2√(3)，
则△ABC周长a+b+c的范围为6＜a+b+c≤2√(3)+3．