已知代数式（x-a)(x-b)-(x-b)(c-x)+(a-x)(c-x)是一个完全平方式,问以a,b,c为边的是什么三角形?

Question

已知代数式（x-a)(x-b)-(x-b)(c-x)+(a-x)(c-x)是一个完全平方式,问以a,b,c为边的是什么三角形?

Answer 1

楼上思想是对的,运算有误：
(x-a)(x-b)-(x-b)(c-x)+(a-x)(c-x)=3x^2-2(a+b+c)x+ab+ac+bc
完全平方式的△＝0,故
△＝4·（a+b+c)^2-12(ab+bc+ca)=0
（a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)=0
展开得：
a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0
两边乘以2,得
2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0
即（a^2+b^2-2ab)+(b^2+c^2-2bc)+(c^2+a62-2ac)=0
则(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
故a=b=c
故以a,b,c为三边的三角形是等边三角形.