设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2bcosA=acosC+ccosA．（1）求角A的大小；（2）若b=2�设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2bcosA=acosC+ccosA．（1）求角A的大小；

Question

设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2bcosA=acosC+ccosA．（1）求角A的大小；（2）若b=2�
设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2bcosA=acosC+ccosA．
（1）求角A的大小；
（2）若b=2，c=1，D为BC的中点，求a及AD的长．

Answer 1

（1）∵A+C=π-B，A，B∈（0，π），
∴sin（A+C）=sinB＞0
又∵2bcosA=acosC+ccosA
∴2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB
结合sinB为正数，可得cosA=(1)/(2)．
∵A∈（0，π），
∴A=(π)/(3)．
（2）由（1）A=(π)/(3)，根据余弦定理可得
a²=b²+c²-2bccos(π)/(3)=4+1-2×2×1×(1)/(2)=3，
∴c=√(3)．
因此cosB=(a2+c2?b2)/(2ac)=0，可得B=(π)/(2)
∴在Rt△ABD中，AD＝√(AB2+BD2)＝√(12+((√(3))/(2))2)＝(√(7))/(2)．