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设f(x)=|ax-1|.(Ⅰ)若f(x)≤2的解集为[-6,2],求实数a的值;(Ⅱ)当a=2时,若存在x∈R,使得不等式f(2x+1)-f(x-1)≤7-3m成立,求实数m的取值范围.

题目详情
设f(x)=|ax-1|.
(Ⅰ)若f(x)≤2的解集为[-6,2],求实数a的值;
(Ⅱ)当a=2时,若存在x∈R,使得不等式f(2x+1)-f(x-1)≤7-3m成立,求实数m的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)显然a≠0,…(1分)
当a>0时,解集为[-
1
a
3
a
],-
1
a
=-6,
3
a
=2,无解;…(3分)
当a<0时,解集为[
3
a
,-
1
a
],
-
1
a
=2,
3
a
=-6,a=-
1
2

综上所述,a=-
1
2
.…(5分)
(Ⅱ) 当a=2时,
令h(x)=f(2x+1)-f(x-1)
=|4x+1|-|2x-3|
=
-2x-4,x≤-
1
4
6x-2,-
1
4
<x<
3
2
2x+4,x≥
3
2

…(7分)
由此可知,h(x)在(-∞,-
1
4
)单调减,在(-
1
4
3
2
)单调增,在(
3
2
,+∞)单调增,
则当x=-
1
4
时,h(x)取到最小值  -
7
2
,…(8分)
由题意知,-
7
2
≤7-3m,则实数m的取值范围是(-∞,
7
2
]…(10分)