设f（x）=|ax-1|．（Ⅰ）若f（x）≤2的解集为[-6，2]，求实数a的值；（Ⅱ）当a=2时，若存在x∈R，使得不等式f（2x+1）-f（x-1）≤7-3m成立，求实数m的取值范围．

Question

设f（x）=|ax-1|．
（Ⅰ）若f（x）≤2的解集为[-6，2]，求实数a的值；
（Ⅱ）当a=2时，若存在x∈R，使得不等式f（2x+1）-f（x-1）≤7-3m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）显然a≠0，…（1分）
当a>0时，解集为[-(1)/(a)，(3)/(a)]，-(1)/(a)=-6，(3)/(a)=2，无解；…（3分）
当a<0时，解集为[(3)/(a)，-(1)/(a)]，
令-(1)/(a)=2，(3)/(a)=-6，a=-(1)/(2)，
综上所述，a=-(1)/(2)．…（5分）
（Ⅱ） 当a=2时，
令h（x）=f（2x+1）-f（x-1）
=|4x+1|-|2x-3|
=

-2x-4，x≤-(1)/(4)

6x-2，-(1)/(4)<x<(3)/(2)

2x+4，x≥(3)/(2)

…（7分）
由此可知，h（x）在(-∞，-(1)/(4))单调减，在(-(1)/(4)，(3)/(2))单调增，在((3)/(2)，+∞)单调增，
则当x=-(1)/(4)时，h（x）取到最小值  -(7)/(2)，…（8分）
由题意知，-(7)/(2)≤7-3m，则实数m的取值范围是(-∞，(7)/(2)]…（10分）