设Sn为数列｛an｝的前n项和,对任意的n属于N*都有Sn=（m+1）-man（m为常数且m大于01求证数列an是等比数列2设数列an的公比q=f（m）,数列bn满足b1=2a1,bn=f（b下标n-1）（n大于等于2,n属于N*）求数列b

Question

设Sn为数列｛an｝的前n项和,对任意的n属于N* 都有Sn=（m+1）-man（m为常数且m大于0
1求证 数列an是等比数列
2设数列an的公比q=f（m）,数列bn满足b1=2a1,bn=f（b下标n-1）（n大于等于2,n属于N* ） 求数列bn的通向公式
3在满足2的条件下,求证：数列bn平方的前n项和Tn小于十八分之八十九
主要是第二问和第三问..

Answer 1

1.
证：
Sn=(m+1)-man
Sn-1=(m+1)-ma(n-1)
an=Sn-Sn-1=(m+1)-man-(m+1)+ma(n-1)
(m+1)an=ma(n-1)
an/a(n-1)=m/(m+1)
m为常数,且m>0,分数有意义,an/a(n-1)为常数.
令n=1 a1=S1=(m+1)-ma1
(1+m)a1=m+1 a1=1
数列{an}为等比数列,首项为1,公比为m/(m+1).
2.
q=f(m)=m/(m+1)
b1=2a1=2
bn=b(n-1)/[b(n-1)+1]
b2=b1/(b1+1)=2/3
b3=b2/(b2+1)=(2/3)/(2/3+1)=2/5
假设n=k时,bk=2/(2k-1),则当n=k+1时
b(k+1)=bk/(bk+1)
=[2/(2k-1)]/[2/(2k-1)+1]
=2/[2+(2k-1)]
=2/(2k+1)
=2/[2(k+1)-1],仍然满足同样的表达式
bn=2/(2n-1)
3.
cn=2^(n+1)/[2/(2n-1)]
=2^(n+1)(2n-1)/2
=2^n(2n-1)
c1=2 c2=12
cn-c(n-1)
=(2n-1)*2^n-2^(n-1)(2n-3)
=2^(n-1)[4n-2-2n+3]
=2^(n-1)(2n+1)
=2^(n+1)(2n+1)/4
=c(n+1)/4
c(n+1)=4[cn-c(n-1)]
cn=4[c(n-1)-c(n-2)]
...
c3=4(c2-c1)
连加
c3+c4+...+cn=4[c(n-1)-c1]
c1+c2+...+cn=4c(n-1)+6
Tn=4c(n-1)+6
=4*2^(n-1)(2n-3)+6
=(2n-3)2^(n+1)+6