已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）．（Ⅰ）当b=2，c=-3时，求二次函数的最小值；（Ⅱ）当c=5时，若在函数值y=l的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；（Ⅲ）

Question

已知二次函数y=x²+bx+c（b，c为常数）．
（Ⅰ）当b=2，c=-3时，求二次函数的最小值；
（Ⅱ）当c=5时，若在函数值y=l的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；
（Ⅲ）当c=b²时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．

Answer 1

（Ⅰ）当b=2，c=-3时，二次函数的解析式为y=x²+2x-3=（x+1）²-4，
∴当x=-1时，二次函数取得最小值-4；
（Ⅱ）当c=5时，二次函数的解析式为y=x²+bx+5，
由题意得，x²+bx+5=1有两个相等是实数根，
∴△=b²-16=0，
解得，b₁=4，b₂=-4，
∴二次函数的解析式y=x²+4x+5，y=x²-4x+5；
（Ⅲ）当c=b²时，二次函数解析式为y═x²+bx+b²，
图象开口向上，对称轴为直线x=-(b)/(2)，
①当-(b)/(2)<b，即b>0时，
在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而增大，
∴当x=b时，y=b²+b•b+b²=3b²为最小值，
∴3b²=21，解得，b₁=-√(7)（舍去），b₂=√(7)；
②当b≤-(b)/(2)≤b+3时，即-2≤b≤0，
∴x=-(b)/(2)，y=(3)/(4)b²为最小值，
∴(3)/(4)b²=21，解得，b₁=-2√(7)（舍去），b₂=2√(7)（舍去）；
③当-(b)/(2)>b+3，即b<-2，
在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而减小，
故当x=b+3时，y=（b+3）²+b（b+3）+b²=3b²+9b+9为最小值，
∴3b²+9b+9=21．解得，b₁=1（舍去），b₂=-4；
∴b=√(7)时，解析式为：y=x²+√(7)x+7
b=-4时，解析式为：y=x²-4x+16．
综上可得，此时二次函数的解析式为y=x²+√(7)x+7或y=x²-4x+16．