设二次型f(x1，x2，x3)＝x21−x22+2ax1x3+4x2x3的负惯性指数是1，则a的取值范围是．

Question

设二次型f(x1，x2，x3)＝

x

2 1

−

x

2 2

+2ax1x3+4x2x3的负惯性指数是1，则a的取值范围是______．

Answer 1

【解法1】
因为：
A=

1	0	a
0	−1	2
a	2	0

，

.

λE−A

.

=

.

λ−1	0	−a
0	λ+1	−2
−a	−2	λ

.

=λ³-（a²+5）λ+（4-a²），
故有：λ₁λ₂λ₃=a²-4，
如果二次型的负惯性指数为1，
则有：λ₁λ₂λ₃≤0，
从而由：a²-4≤0，
解得：-2≤a≤2，
故答案为[-2，2]．

【解法2】
由配方法可知：
f（x₁，x₂，x₃）=x12−x22+2ax1x3+4x2x3=(x1+ax3)2−(x2−2x3)2+(4−a2)x32，
由于负惯性指数为1，
故必须要求4-a²≥0，
所以a的取值范围是：[-2，2]，
故答案为[-2，2]．