证明：三棱锥三条侧棱两两垂直则底面三角形为锐角三角形.要求多种方法解答.

Question

证明：三棱锥三条侧棱两两垂直则底面三角形为锐角三角形.
要求多种方法解答.

Answer 1

设三棱锥三条侧棱为a、b、c,三条侧棱两两垂,a⊥b,a⊥c,则a垂直于b、c棱所在平面,则三棱锥的三个侧面为直角三角形,底面三角形的边长分别为：√(a²+b²)、√(b²+c²)、√(a²+c²)；设以上三边所对角分别为：α、β、γ,由余弦定理得：a²+b²=b²+c²+a²+c²-2√[(b²+c²)(a²+c²)]cosα,
cosα=c²/√[(b²+c²)(a²+c²)]＞0,则α为锐角,同理得cosβ=a²/√[(a²+b²)(a²+c²)]＞0,
cosγ=b²/√[(a²+b²))(b²+c²)]＞0,则β、γ为锐角,底面三角形为锐角三角形.