如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，点M，N分别为A1B和B1C1的中点．（1）证明：A1M⊥平面MAC；（2）求三棱锥A-CMA1的体积；（3）证明：MN∥平面A1ACC1．

Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱与底面垂直，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=2，点M，N分别为A₁B和B₁C₁的中点．
（1）证明：A₁M⊥平面MAC；
（2）求三棱锥A-CMA₁的体积；
（3）证明：MN∥平面A₁ACC₁．

Answer 1

（1）证法一：由题设知，AC⊥AA₁，
又∵∠BAC=90°∴AC⊥ABB₁A₁，AB⊂平面AA₁B₁B，AA₁∩AB=A，
∴AC⊥平面AA₁B₁B，…（1分）
A₁M⊂平面AA₁B₁B∴A₁M⊥AC．…（2分）
又∵四边形AA₁B₁B为正方形，M为A₁B的中点，
∴A₁M⊥MA…（3分）
AC∩MA=A，AC⊂平面MAC，MA⊂平面MAC…（4分）
∴A₁M⊥平面MAC…（5分）
证法二：在Rt△BAC中，BC＝√(AB2+AC2)＝√(22+22)＝2√(2)
在Rt△A₁AC中，A1C＝√(A1A2+AC2)＝√(22+22)＝2√(2)．
∴BC=A₁C，
即△A₁CB为等腰三角形．…（1分）
又点M为A₁B的中点，∴A₁M⊥MC．…（2分）
又∵四边形AA₁BB₁为正方形，M为A₁B的中点，
∴A₁M⊥MA…（3分）AC∩MA=A，AC⊂平面MAC，MA⊂平面MAC…（4分）
∴A₁M⊥平面MAC…（5分）
（2）由（1）的证明可得：
三棱锥A-CMA₁的体积VA−CMA1＝VC−AMA1＝(1)/(3)×S△AMA1×CA…（7分）=(1)/(3)×(1)/(2)×2×1×2…（8分）
=(2)/(3)．…（9分）
（3）证法一：连接AB₁，AC₁，…（10分）
由题意知，点M，N分别为AB₁和B₁C₁的中点，∴MN∥AC₁．…（11分）
又MN⊄平面A₁ACC₁，AC₁⊂平面A₁ACC₁，…（13分）
∴MN∥平面A₁ACC₁．…（14分）
证法二：取A₁B₁中点P，连MP，NP，…（10分）
而M，P分别为AB₁与A₁B₁的中点，
∴MP∥AA₁，MP⊄平面A₁ACC₁，AA₁⊂平面A₁ACC₁，
∴MP∥平面A₁ACC₁，
同理可证NP∥平面A₁ACC₁…（11分）
又MP∩NP=P∴平面MNP∥平面A₁ACC₁．…（12分）
∵MN⊂平面MNP，…（13分）
∴MN∥平面A₁ACC₁．…（14分）