设A是实矩阵．证明：（Ⅰ）ATAx=0与Ax=0是同解方程组；（Ⅱ）秩（ATA）=秩（A）．

Question

设A是实矩阵．证明：
（Ⅰ）A^TAx=0与Ax=0是同解方程组；
（Ⅱ）秩（A^TA）=秩（A）．

Answer 1

证明：
（I）
若x₀是Ax=0的解，即：Ax₀=0，
显然：ATAx0＝AT(Ax0)＝0，
即x₀是A^TAx=0的解；
反之，设x₀是A^TAx=0的解，即A^TAx₀=0，则：
x0TATAx0＝0，
即(Ax0)TAx0＝0，
从而：|Ax0|2＝(Ax0，Ax0)＝(Ax0)TAx0＝0，
于是：Ax₀=0，即x₀是Ax=0的解，
故：A^TAx=0与Ax=0是同解方程组．

（II）
由（I）知A^TAx=0与Ax=0是同解方程组，
因而两者的解空间维数相同，
又解空间的维数=未知数的个数-系数矩阵的秩
从而：r（A^TA）=r（A）．