设总体X～U（1，θ），参数θ＞1未知，X1，…，Xn是来自X的简单随机样本．①求θ的矩估计和极大似然估计量；②求上述两个估计量的数学期望．

Question

设总体X～U（1，θ），参数θ＞1未知，X₁，…，X_n是来自X的简单随机样本．
①求θ的矩估计和极大似然估计量；
②求上述两个估计量的数学期望．

Answer 1

总体X～U（1，θ），其分布密度为
f（x，θ）=

(1)/(θ−1)，  1≤x≤θ

0，  其他

．
（1）由

.

X

＝EX＝(θ+1)/(2)，解得θ＝2

.

X

−1，
故θ的矩估计量为：

̂

θ

1＝2

.

X

−1；
似然函数为
L(θ)＝(1)/((θ−1)n)，
L′(θ)＝(−n)/((θ−1)n+1)＜0，L（θ）递减，
又X₁，…，X_n∈（1，θ），
故θ的极大似然估计量为

̂

θ

2＝max{X1，…，Xn}．
（2）E

̂

θ

1＝2E

.

X

−1＝2μ−1＝2×(θ+1)/(2)−1＝θ．
而

̂

θ

2＝max{X1，…，Xn}的分布函数为：
F

̂

θ

2(x)＝P(

̂

θ

2≤x)＝P{max{X1，…，Xn}≤x}
=P{X₁≤x，…，X_n≤x}
=

n

π

i＝1

P(Xi≤x)
=

0，  x＜1

((x−1)/(θ−1))n，  1≤x＜θ

1，  x≥θ

，
从而其分布密度为：
f

̂

θ

2(x)＝F′

̂

θ

2(x)＝

(n(x−1)n−1)/((θ−1)n)，	1≤x≤θ
0，	其它

，
所以，
E

̂

θ

2＝

∫

θ 1

x•(n(x−1)n−1)/((θ−1)n)dx＝

∫

θ 1

(x−1+1)(n(x−1)n−1)/((θ−1)n)dx
=

∫

θ 1

(n(x−1)n)/((θ−1)n)+

∫

θ 1

(n(x−1)n−1)/((θ−1)n)dx
=

(n)/(n+1)((x−1)n+1)/((θ−1)n)|

θ 1

+

((x−1)n)/((θ−1)n)|

θ 1

＝(n)/(n+1)(θ−1)+1＝(nθ+1)/(n+1)．