设总体X的概率密度为f（x）=12θ，0＜x＜θ12(1−θ)，θ≤x≤10，其他，其中参数θ（0＜θ＜1）未知，X1，X2，…Xn是来自总体X的简单随机样本，.X是样本均值．（Ⅰ）求参数θ的矩估计量θ；（Ⅱ

Question

设总体X的概率密度为f（x）=

(1)/(2θ)，0＜x＜θ

(1)/(2(1−θ))，θ≤x≤1

0，其他

，其中参数θ（0＜θ＜1）未知，X₁，X₂，…X_n是来自总体X的简单随机样本，

.

X

是样本均值．
（Ⅰ）求参数θ的矩估计量

θ

；
（Ⅱ）判断4

.

X

2是否为θ²的无偏估计量，并说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）
记EX=μ，
则：μ＝EX＝

∫

θ 0

(x)/(2θ)dx+

∫

1 θ

(x)/(2(1−θ))dx=(1)/(4)+(1)/(2)θ，
解出：θ＝2μ−(1)/(2)，
因此参数θ的矩估计量为：

θ

＝2

.

X

−(1)/(2)．

（Ⅱ）
证明：
只须验证E(4

.

X

2)是否为θ²即可，
而：E(4

.

X

2)＝4E(

.

X

2)＝4(D

.

X

+(E

.

X

)2)＝4((1)/(n)DX+(EX)2)，
又：EX＝(1)/(4)+(1)/(2)θ，EX2＝(1)/(6)(1+θ+2θ2)，
   DX＝EX2−(EX)2＝(5)/(48)−(θ)/(12)+(1)/(12)θ2，
于是：E(4

.

X

2)＝(5+3n)/(12n)+(3n−1)/(3n)θ+(3n+1)/(3n)θ2≠θ2，
因此：4

.

X

2不是为θ²的无偏估计量．