在一个直角三角形内部做一个矩形abcd,其中a.d.分别在两直角边上,其中,较短直角边为30另一直角边为40设ab为x怎样表示ad当x取何值时,矩形面积最大值为

Question

在一个直角三角形内部做一个矩形abcd,其中a.d.分别在两直角边上,其中,较短直角边为30 另一直角边为40 设ab为x 怎样表示ad 当x取何值时,矩形面积最大值为

Answer 1

如图,直角三角形MNP中,直角边PM=30,直角边PN=40
MN = √(PM²+PN²)=50
矩形顶点A、D在直角边上,令AB=CD=x,AD=BC=y
 
△NCD∽△NPM
CD/PM=ND/NM
x/30=ND/50
ND=5/3x
 
△DPA△NCD
AD/MN=PD/PN
y/50=PD/40
PD=4/5y
 
PD+ND=PN
5/3x+4/5y=40
x+12/25y=24
y=25/12(24-x)
 
矩形面积S = xy=25/12(24-x²)=300-(x-12)²
当x=12时,最大矩形面积300