a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA是怎么推导出来的

Question

a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA 是怎么推导出来的

Answer 1

余弦定理证明
平面向量证法：   
∵如图,有a+b=c (平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小）    
∴c·c=(a+b)·(a+b)   
∴c^2=a·a+2a·b+b·b
∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)   （以上粗体字符表示向量）   
又∵Cos(π-θ)=-CosC   
∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式）   
再拆开,得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC   
同理可证其他,而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下.   
平面几何证法：   
在任意△ABC中   
做AD⊥BC.   
∠C所对的边为c,
∠B所对的边为b,
∠A所对的边为a  
 则有BD=cosB*c,AD=sinB*c,DC=BC-BD=a-cosB*c   
根据勾股定理可得：   
AC^2=AD^2+DC^2   
b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2   
b^2=sinB²·c²+a^2+cosB²·c^2-2ac*cosB   
b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2   b^2=c^2+a^2-2ac*cosB   
cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac