若a,b,c互不相等,求证关于x的方程（a^2+b^2+c^2)X^2+2(a+b+c)X+3=0（a≠0）没有实数根我算出来的判别式是-8（a^2+b^2+c^2）+8（ab+ac+bc），-8（a^2+b^2+c^2）肯定≤0，可是怎么证明8（ab+ac+bc）小于等于0呢

Question

若a,b,c互不相等,求证关于x的方程（a^2+b^2+c^2)X^2+2(a+b+c)X+3=0（a≠0）
没有实数根
我算出来的判别式是-8（a^2+b^2+c^2）+8（ab+ac+bc），-8（a^2+b^2+c^2）肯定≤0，可是怎么证明 8（ab+ac+bc）小于等于0呢？

Answer 1

判别式=4(a+b+c)²-12(a²+b²+c²)
=4[(a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca)-(3a²+3b²+3c²)]
=4(-2a²-2b²-2c²+2ab+2bc+2ca)
=-4(a²-2ab+b²+b²-2bc+c²+c²-2ac+a²)
=-4[(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²]
a,b,c互不相等
所以(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²>0
所以判别式小于0
所以无解