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（2014•崇明县一模）已知函数f（x）=2x+b，g（x）=x2+bx+c（b，c∈R），对任意的x∈R恒有f（x）≤g（x）成立．（文1）记h(x)＝g(x)f(x)，如果h（x）为奇函数，求b，c满足的条件；（1）当b=0时，记h

题目详情

（2014•崇明县一模）已知函数f（x）=2x+b，g（x）=x²+bx+c（b，c∈R），对任意的x∈R恒有f（x）≤g（x）成立．
（文1）记h(x)＝

g(x)

f(x)

，如果h（x）为奇函数，求b，c满足的条件；
（1）当b=0时，记h(x)＝

g(x)

f(x)

，若h（x）在[2，+∞）上为增函数，求c的取值范围；
（2）证明：当x≥0时，g（x）≤（x+c）²成立；
（3）（理3）若对满足条件的任意实数b，c，不等式g（c）-g（b）≤M（c²-b²）恒成立，求M的最小值．

▼优质解答

答案和解析

（文1）因为对任意的x∈R恒有f（x）≤g（x）成立，所以对任意的x∈R，2x+b≤x²+bx+c，
即x²+（b-2）x+c-b≥0恒成立，所以（b-2）²-4（c-b）≤0，从而c≥

+1，即c≥1．
设h（x）=

g(x)

f(x)

的定义域为D，因为h（x）是奇函数，所以对于任意x∈D，
h（-x）=-h（x）成立，解得b=0，所以b=0，c≥1．
（1）因为任意的x∈R恒有f（x）≤g（x）成立，
所以对任意的x∈R，2x+b≤x²+bx+c，即x²+（b-2）x+c-b≥0恒成立．
所以（b-2）²-4（c-b）≤0，从而c≥

+1，即c≥1．
当b=0时，记h（x）=

g(x)

f(x)

x2+c

，因为h（x）在[2，+∞）上为增函数，
所以任取x₂＞x₁≥2，f（x₂）-f（x₁）=

（x₂-x₁）（1-

x1•x2

）＞0 恒成立．
即（1-

x1•x2

）＞0 成立，也就是c＜x₁•x₂成立，所以c≤4，
即c的取值范围是[1，4]．
（2）由（1）得，c≥1且c≥

+1，所以c≥2

×1

=|b|，
因此2c-b=c+（c-b）＞0．
故当x≥0时，有（x+c）²-g（x）=（2c-b）x+c（c-1）≥0．
即当x≥0时，g（x）≤（x+c）²．
（3）（理）由（2）知，c≥|b|，当c＞|b|时，
有M≥

g(c)−g(b)

c2−b2

c2+bc−b2−b2

c2−b2

c+2b

b+c

，
设t=