已知a,b,c是三个不全相等的正数,求证：（b+c-a)/a+(c+a-b)/b+(a+b-c)/c>3

Question

已知a,b,c是三个不全相等的正数,求证：（b+c-a)/a+(c+a-b)/b+(a+b-c)/c>3

Answer 1

左边=(b+c)/a-1+(c+a)/b-1 +(a+b)/c-1
=b/a+c/a+c/b+a/b+a/c+b/c-3
=(b/a+a/b)+(c/a+a/c)+(c/b+b/c)-3
b/a+a/b>=2根号(b/a*a/b)=2
同理
c/a+a/c>=2
c/a+b/c>=2
相加(b/a+a/b)+(c/a+a/c)+(c/b+b/c)>=6
当a=b=c取等号
而已知知a,b,c是不全相等的
所以(b/a+a/b)+(c/a+a/c)+(c/b+b/c)>6
所以(b/a+a/b)+(c/a+a/c)+(c/b+b/c)-3>6
即（b+c-a)/a + (c+a-b)/b + (a+b-c)/c >3